Un mathématicien italien du XVIe siècle appelé Jérome Cardan a formulé une formule pouvant résoudre les équations du type :

Ici, x, p et q sont chacun des nombres réels, on dit qu’ils appartiennent à l’ensemble des réels et on le note ainsi :

Cependant ce type d’équation n’était résolvable en cette époque qu’à certaines conditions; il faut en effet que :

Lorsque la condition précédente est respectée, alors les solutions sont :

  On peut également écrire de cette manière (c’est équivalent) :

PS : sqrt = « square root » en anglais, qui se traduit par « racine carrée » en français.

Nous allons maintenant vérifier que sqrt(-121) est bien solution de l’équation :

A l’aide de la formule de Cardan, on obtient :

On aboutit donc à :

En 1774, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss estime que la notation sqrt(-1) pose un problème car en effet :

Or pour sqrt(-1), on abouti à une contradition car :

D’un côté on obtient 1 et (-1), il y a donc un problème avec cette notation.

En 1777, le mathématicien suisse Leonhard Euler décide de noter sqrt(-1) de cette manière :

Euler propose que sqrt(-1) est égal à i (comme imaginaire); en l’élevant au carré, on obtient :

Au final, on se retrouve avec des nouveaux nombres appelés <<imaginaires>> qui respectent :

Un nouvel ensemble de nombre encore plus grand que les réels est alors apparu. On décide de noter cet ensemble C (pour nombres complexes).

Un nombre complexe se note souvent z et vérifie les conditions :

Ici, a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que :

Votre ensemble de nombre ressemble maintenant à cela :

Pour un peu plus détailler la composition de chaque ensemble, on a :

Cette illustration nous montre bien que l’ensemble des complexes C est l’association de l’ensemble des réels R avec l’ensemble des nombres imaginaires I.