Un problème bien embarrassant
Résoudre des équations du 3e degré grâce à Jérome Cardan
Un mathématicien italien du XVIe siècle appelé Jérome Cardan a formulé une formule pouvant résoudre les équations du type :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i742b18778c5cda23/version/1370037169/image.gif)
Ici, x, p et q sont chacun des nombres réels, on dit qu’ils appartiennent à l’ensemble des réels et on le note ainsi :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i05e90fc172a111f3/version/1370037598/image.gif)
Cependant ce type d’équation n’était résolvable en cette époque qu’à certaines conditions; il faut en effet que :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i038778db1b4ce1b9/version/1370037944/image.gif)
Lorsque la condition précédente est respectée, alors les solutions sont :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i11769f6035ecf13c/version/1370038450/image.gif)
On peut également écrire de cette manière (c’est équivalent) :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i460f3276aeda7970/version/1370038794/image.gif)
Bombelli, le petit futé qui travaille avec l’impossible !
![En 1572, un mathématicien se nommant Bombelli décide d'utiliser la formule de Cardan en s'autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible, en particulier ce nombre.](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i1bde40a233ac18d4/version/1370040300/en-1572-un-math%C3%A9maticien-se-nommant-bombelli-d%C3%A9cide-d-utiliser-la-formule-de-cardan-en-s-autorisant-%C3%A0-utiliser-des-nombres-consid%C3%A9r%C3%A9s-comme-impossible-en-particulier-ce-nombre.gif)
En 1572, le mathématicien italien Bombelli décide d’utiliser la formule de Cardan en s’autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible comme sqrt(-121), sans essayer à en comprendre se sens.
PS : sqrt = « square root » en anglais, qui se traduit par « racine carrée » en français.
Nous allons maintenant vérifier que sqrt(-121) est bien solution de l’équation :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/iab40ea265dbfdb55/version/1370040477/image.gif)
A l’aide de la formule de Cardan, on obtient :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/iafaa1963d67953e1/version/1370077062/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i47c97734bb943339/version/1370077300/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i3217ca4277a16f12/version/1370077373/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i4df287f53b77f23e/version/1370077430/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/iba483a86d8f91d99/version/1370077489/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/if529a16609ab25ab/version/1370077761/image.gif)
On aboutit donc à :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i6d8106812ecb105a/version/1370077951/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i4fac9506dd9cdb78/version/1370078017/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/if17f2dda8df36a46/version/1370078050/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i09ef1cfc313ab7d9/version/1370078191/image.gif)
Une histoire de notation
Un problème avec la notation sqrt(-1)
En 1774, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss estime que la notation sqrt(-1) pose un problème car en effet :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/ic1902e1d5f6e5f42/version/1370078649/image.gif)
Or pour sqrt(-1), on abouti à une contradition car :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i1820939c0f387137/version/1370078969/image.gif)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i04a2799b2b4d9964/version/1370078979/image.gif)
D’un côté on obtient 1 et (-1), il y a donc un problème avec cette notation.
Une nouvelle notation apparait
En 1777, le mathématicien suisse Leonhard Euler décide de noter sqrt(-1) de cette manière :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/id88121add3457d7b/version/1370079381/image.gif)
Euler propose que sqrt(-1) est égal à i (comme imaginaire); en l’élevant au carré, on obtient :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i63309d67982b8184/version/1370079402/image.gif)
Au final, on se retrouve avec des nouveaux nombres appelés <<imaginaires>> qui respectent :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/id986f2907490bc02/version/1370079659/image.gif)
Vers l’ensemble des nombres complexes
Un nouvel ensemble de nombre encore plus grand que les réels est alors apparu. On décide de noter cet ensemble C (pour nombres complexes).
Un nombre complexe se note souvent z et vérifie les conditions :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/ie2f4498d80c09390/version/1370080112/image.gif)
Ici, a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i9e1f53e3786ffd42/version/1370080221/image.gif)
Votre ensemble de nombre ressemble maintenant à cela :
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i632cb12f5ff2bef2/version/1370081988/image.png)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i346ce18c61354714/version/1370081872/image.png)
![](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s51fc61a5707b6420/image/i9a37c4642cb8c2ee/version/1370082352/image.png)
Pour un peu plus détailler la composition de chaque ensemble, on a :
Cette illustration nous montre bien que l’ensemble des complexes C est l’association de l’ensemble des réels R avec l’ensemble des nombres imaginaires I.
Franchement, merci beaucoup ! C’est très bien expliqué, et en plus, simple à comprendre. Je n’ai pas un très grand niveau, mais j’ai compris ce que je voulais comprendre. Alors merci !
Je suis fières d’eux.
merci beaucoup c’est bien expliqué
il y a une erreur après Bombelli le petit futé . ce sont des 4 au lieu des 8 sous les racines cubique .
merci beaucoup c’est très bien expliqué
Excellente démonstration
Merci du fond du cœur
Très bonne illustration, c’est correct
Excellent démonstration